معادلات دیفرانسیل معمولی

فروم متلب

Main Menu

ebook archive

Login Form

آمار کلی

بازدیدکنندگان : 1494616

آخرين ارسالهاي تالار

- حرکت یک شی بر روی یک منحنی
- 1 ساعت, 47 دقيقه پيش
- مقایسه چند برنامه در متلب
- 10 ساعت, 7 دقيقه پيش
- چگونگی ساخت فایل exe در متلب
- 12 ساعت, 16 دقيقه پيش
- دستور مطلب
- 13 ساعت, 12 دقيقه پيش
- سوال: حاصل معادله Ax2+Bx+C با استفاده از متلب
- 13 ساعت, 15 دقيقه پيش

موضوع هاي بيشتر »

معادلات دیفرانسیل معمولی – کار با ode

نوشته شده توسط saeed

پنجشنبه, 05 فروردین 1389 ساعت 08:38

توابع ODE در متلب بمنظور حل معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط اولیه تدارک دیده شده اند ویژگی که برای آنها در راهنمای متلب ذکر شده است،

Solve initial value problems for ordinary differential equations

بسته به نوع اصطلاحا سخت (stiff) و غیر سخت (Nonstiff) معادلات و نیز اهمیت دقت، odeهای متفاوتی بکار می روند. اصطلاح سخت (stiff) برای آندسته از معادلاتی بکار می رود که برای مثال در مقابل متغیر مستقلی همچون t چند متغیر وابسته همچون x وy و ... وجود دارد بگونه ای که اندازه مشتقات متغیرهای وابسته نسبت به متغیر مستقل بطور قابل ملاحظه ای متفاوت است در غیر اینصورت معادله غیرسخت (Nonstiff) نامیده می شود. برای توضیحات بیشتر در مورد ode ها باید به راهنمای متلب مراجعه نمایید. متلب نوع و محل بکارگیر آنها را در جدول زیر خلاصه کرده است.

When to Use	Order of Accuracy	Problem Type	Solver
Most of the time. This should be the first solver you try.	Medium	Nonstiff	ode45
For problems with crude error tolerances or for solving moderately stiff problems.	Low	Nonstiff	ode23
For problems with stringent error tolerances or for solving computationally intensive problems.	Low to high	Nonstiff	Ode113
If `ode45` is slow because the problem is stiff.	Low to medium	Stiff	Ode15s
If using crude error tolerances to solve stiff systems and the mass matrix is constant.	Low	Stiff	Ode23s
For moderately stiff problems if you need a solution without numerical damping	Low	Moderately Stiff	Ode23t
If using crude error tolerances to solve stiff systems.	Low	Stiff	Ode23tb

می خواهیم در اینجا به ode45 بپردازیم که برای معادلات غیر سخت تدارک دیده شده و اساس آن روش رانگ کوتاست.

برای آموزش نحوه استفاده از ode45 نوسانگر واندرپل تحت نیروی واداشته را در نظر می گیریم که معادله دیفرانسیل آن بصورت زیر نوشته می شود:

http://en.wikipedia.org/wiki/Van_der_Pol_oscillator

http://mathworld.wolfram.com/vanderPolEquation.html

گام اول- بازنویسی مسئله بشکل مجموعه ای از معادلات مرتبه یک. در مورد نوسانگر واندرپل با تغییر متغیر y₁'=y₂ دو معادله دیفرانسیل مرتبه یک حاصل میشود،

گام دوم- کد نمودن ODE های مرتبه یک، پس از بازنویسی معادلات مطابق گام اول باید ان معادلات را برای بکارگیری ode45 کد نماییم. تابع باید بشکل زیر باشد،

dydt=odefun(t,y)

دقت کنید که تابع حتما باید دو آرگومان یکی مربوط به متغیر مستقل (در اینجا t) و دیگری مربوط به متغیرهای وابسته (در اینجا y) داشته باشد حتی اگر هیچکدام در تابع های مرتبه یک ظاهر نشوند. کد زیر سیستم واندپل را تحت عنوان تابع vdp1 نشان میدهد. y(1) و y(2) ورودی های بردار دوعنصری y هستند.

function dydt=vdp1(t,y)

epsilon=5;

w=2.466;

f=5;

dydt=[y(2) ; epsilon*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)+f*cos(w*t)];

گام سوم- استفاده از یک حل کننده (solver) برای مسئله، همانگونه که گفته شد میخواهیم از ode45 استفاده نماییم. تابع ode45 سه ورودی یا آرگومان دارد. اولین آرگومان تابعی است که آنرا گام دوم خلق کردیم، دومین آرگومان بازه مربوط به متغیر مستقل است که در مورد مسئله ما همان بازه زمانی t است و نهایتا آرگومان سوم بردار شرایط اولیه است.

در این مثال بازه زمانی [0 100] و مقادیر اولیه y(1)=1.2 و y(2)=0 را مطابق زیر در ode45 قرار می دهیم،

[t,y]=ode45(@vdp1,[0 100],[1.2 0]);

در این مثال برای پذرفتن vdp1 بعنوان یک تابع ا @ استفاده شده است. خروجی ode45 برداری از زمان t و ماتریس پاسخ y اس. هر سر y مطابق با زمانیست که توسط سطر متناظر در t معرفی میشود. نخستین ستون y متناظر با y(1) و ستون دوم آن متناظر با y(2) است.

گام چهارم- مشاهده خروجی، اینکار را براحتی با استفاده از plot می توان انجام داد.

plot(y(:,1),y(:,2))

xlabel('y1')

ylabel('y2')

با این توضیحات برنامه vdp1 با فرم نهایی و ساده زیر نوسانگر واندپل را در فضای فاز شبیه سازی میکند.

function vonerpol

% vonderpole oscilator - ode45

% آدرس ایمیل جهت جلوگیری از رباتهای هرزنامه محافظت شده اند، جهت مشاهده آنها شما نیاز به فعال ساختن جاوا اسکریپت دارید